Ответ спасен из Яндекс.Кью
С начальной школы мы привыкли к тому, что "умножение" - замена многократному сложению, а "возведение в степень" - замена многократному умножению. Можно, по аналогии, определить тетрацию и т.п. операции, продолжая цепочку. Подобная операция где-то, кроме чистой математики, практически не встречается.
Кроме вещественных чисел, в математике есть много других полей, состоящих из объектов, которые можно умножать и складывать: комплексные числа, остатки от деления на простое число, матрицы, многое другое. Умножают и складывают их по своим правилам, но при этом выполняются некоторые соотношения, такие же, как для обычных чисел, например:
(a + b)c = ac + b*c
a + b = b + a
существует такой элемент, обозначаемый "0", что 0х = х0 = 0 для любого х
существует такой элемент, обозначаемый "1", что 1х = x1 = x для любого х
и т.п.
Ну так вот, если я правильно понимаю вопрос, он состоит в том, что хорошо бы, по аналогии, определить в каких-то из этих полей следующие по цепочке операции аналогичным образом. Оставим пока тетрацию, рассмотрим "возведение в степень", обозначим его ^ и посмотрим, как оно могло бы быть устроено.
(естественно, в любом поле существует операция возведения в степень, показатель которой - не элементы поля, а целые числа; речь не о ней, это было бы тривиально)
Пусть для ^ будет выполняться хотя бы такое:
(свойство 1) x^1 = x,
(свойство 2) x^(a+b) = x^a*x^b
Давайте для разгона попробуем построить такую операцию для конечных полей. Упс, её не существует нигде, кроме Z₂, где она тривиальна: x^y=x для любых x и y (доказательство оставляю в качестве упражнения читателю).
Что же такого особенного в вещественных числах, что в них операция "возведения в степень" существует?
Совершенно ничего: в них тоже нет операции x^y, однозначно определенной для всех x^y, и подчиняющейся свойствам 1-2. Например, нельзя возводить отрицательные числа в нецелую степень, а ноль в отрицательную. Значит, нашая операция ^ неполна, для неё нужно четко определять домен в зависимости от поля.
Примерно вот эта муть с тем, что "красивые" свойства операции возведения в степень сужают её домен каким-то слабопредсказуемым образом, зависящим от исходного поля, мне кажется, и мешает рассматривать возведение в степень, тетрацию и т.п. для прочих полей.
Для комплексных чисел это кое-как удаётся всякими трюками типа аналитических продолжений, уж больно хорошо они замкнуты сами на себа, слава основной теореме алгебры. Для других полей я ничего даже о попытках не слышал.