Ответ спасен из Яндекс.Кью
Очень сложно пересказывать своими словами позиции профессиональных математиков, тем более что сам я в своё время выбрал другую профессию. Наверняка какие-то вещи в пересказе будут звучать наивно. Но я попробую.
Математики, действительно, по-разному относятся к "существованию" объектов, которыми оперируют. В каком смысле "существуют" объекты бесконечного размера и, если они не существуют физически, почему мы о них рассуждаем, и какое это отношение имеет к реальности, не вопросы математики как таковой, а вопросы, скорее, философии математики. Но эти вопросы многих математиков волнуют и влияют на важные для некоторых из них решения, например, какой набор объектов и аксиом считать базовыми и "интуитивно очевидными".
Чтобы понять суть выбора в случае с бесконечными объектами, проще всего довести ситуацию до абсурда. А почему мы считаем, что существуют натуральные числа? Наверное, нет математика, который считал бы, что числа 3 или числа 15 хоть в каком-нибудь смысле "не существует". Но во Вселенной всего-то примерно 2^250 атомов, так что осмысленных комбинаций этих атомов за всё время её существования будет точно намного меньше, чем 2^2^250. Поэтому некоторые профессиональные математики вполне искренне считают, что очень больших чисел, например, больше этих самых 2^2^250, не существует (без кавычек!) и хотели бы построить версию математики, в которой такие числа и не появляются. В ней "существование" объекта это не "да" или "нет", объект существует в той степени, насколько просто нам его предъявить, соорудив из простейших кусочков, и чем это дольше и трудозатратней, тем меньшее право на существование он имеет. Эта позиция называется ультрафинитизм.
Ультрафинитизм в математике, насколько можно судить со стороны, маргинален. Проблема с ним в том, что получающаяся теория "неинтересна". Чтобы построить нетривиальную математику на таком фундаменте, нужно преодолеть много технических сложностей, выглядит это всё громоздко и некрасиво, и совершенно непонятно, зачем.
Аксиоматика Пеано, содержащая математическую индукцию, уже позволяет работать и с "несуществующими" числами вроде 2^2^250. Всем, кроме горстки ультрафинитистов, она кажется интуитивно и очевидно правильной, а на её основе уже можно построить значительную часть современной математики (прикладной, во всяком случае).
Та же самая дилемма верна и для бесконечности. Можно сказать, что бесконечных объектов не существует и потому и рассуждать о них мы не должны. А можно решиться! Трансфинитная индукция и аксиома выбора чуть менее очевидны, чем аксиоматика Пеано, но многим математикам и они кажутся интуитивно верными, а позволяют строить гораздо более мощные и интересные теории. Значительную часть результатов современной математики (не очень-то прикладных, стоит признать) без них вообще не получится не то что доказать, а хотя бы сформулировать.
Откуда вообще берутся наши представления об "очевидном" и "интуитивно верном", когда речь идёт о бесконечном, и почему эти представления в основном одинаковы у разных математиков всех времен и народов, вопрос, конечно, интересный. Будет шоком, если значительная часть математики, оперирующая объектами бесконечного размера, в какой-то момент окажется противоречивой. Но если таких объектов "на самом деле" не существует, то почему бы этому вдруг и не случиться? Случилось же такое с наивной теорией множеств, в конце концов.
Готовы ли математики пожертвовать этой частью своей науки, сказав твёрдо, что бесконечностей "на самом деле" не существует? Кто-то готов, а кто-то нет. Вопрос не только веры, но и целей и смелости. Можно не верить в актуальное существование ординалов где-нибудь в платоновском мире, но всё же работать с ними в нашем и получать интересные результаты, считая, что сей прекрасный замок построен на зыбкой почве, но риск того стоит.
В определенном смысле ответ на вопрос, может ли он в принципе в какой-то момент рухнуть, или есть некоторая глубинная причина, почему наша интуиция верна и это невозможно, эквивалентен вопросу об актуальном существовании математических объектов, включая бесконечность. Именно это, мне кажется, и является ответом на Ваш вопрос.