Disclaimer: написанное ниже не является инвестиционной рекомендацией! Перепроверяйте всё, что читаете в интернете, особенно связанное с деньгами.
Несколько раз сталкивался с тем, что достаточно умные, на мой взгляд, люди не умеют посчитать стоимость того или иного дериватива. Но это ладно, гораздо хуже, когда эти люди считают, что это не нужно, или сложно. Хочу попробовать себя в жанре "простые ответы на простые вопросы", и показать, что это А) не сложно и Б) может пригодиться.
Упрощённый пример
Рассмотрим простую ситуацию. Некто предлагает вам, на выбор, два варианта: либо он даёт вам 100 рублей сейчас, либо X рублей ровно через 1 год. Предположим, что это кто-то, известный своей кристальной честностью и приверженностью обязательствам (например, компания Яндекс), и вы полностью уверены в том, что получите свои X рублей. Какой вариант стоит выбрать?
Очевидно, что ответ зависит от X, причём монотонно: нет смысла брать 105 рублей через год вместо 100 сейчас, но выбирать 100 рублей сейчас вместо 110 рублей через год. Также понятно, что если X < 100, то нужно брать 100 сейчас, а если X очень большое, например, миллиард, то нужно выбрать его. Как выбрать точку отсечения?
На первый взгляд, нужно попробовать понять, какая будет инфляция, что же мы сможем купить на эти деньги через год. Но на самом деле правильный ответ можно вывести почти "из первых принципов", и инфляция будет играть в нём роль стороннего наблюдателя.
Первые принципы
Основная концепция, которой достаточно для того, чтобы вывести почти всё о ценах производных инструментов: There ain't no such thing as a free lunch (если более научно, то there is no arbitrage). Нельзя купить или продать набор разных инструментов (акций, облигаций, фьючерсов, опционов и т.п.) и оказаться в ситуации, когда ты не брал на себя никакой риск, и при этом заработал денег больше, чем если бы "положил их в сверхнадёжный банк на депозит". С одной стороны, звучит логично (если бы такая возможность была, все бы ей пользовались и зарабатывали деньги без риска), с другой немного контринтуитивно (ведь всякие HFT как раз этим, в основном, и занимаются). Истина, как всегда, немного посередине: в "нормальных" условиях свободного рынка возможности для арбитража измеряются наносекундами, и, если ты не HFT-фонд, то можешь смело предполагать, что тебя они не касаются. Если рынок не свободный, то возможны разные артефакты. Можно сравнить это с уровнем воды в сообшающихся сосудах: можно более-менее считать, что он одинаковый, но если сосуды пересают сообщаться, то уже нельзя, а тот, кто может переместить воду из одного сосуда в другой и обратно, может неплохо на этом заработать.
Вторая концепция носит вспомогательный характер для упрощения расчётов: у каждого инструмента есть "справедливая цена", и мы можем любой инструмент купить или продать ровно по этой цене, а, например, транзакционными издержками или рисками пренебрегаем.
Получаем закон сохранения энергии: вместо энергии у нас деньги, каждая транзакция (покупка или продажа) переводит нас в новое физическое состояние, и, если мы вернулись в исходное состояние, то количество наших денег должно остаться неизменным. Аналогично, если в из текущего состояния в некоторое другое ведут два пути, то количество денег, потраченное или приобретённое в процессе перехода по этим путям, должно быть одинаковым. В финансах это называется "реплицирующим портфелем".
Теперь мы готовы вернуться к вопросу о том, что выбрать: 100 рублей сейчас, или X рублей через год. Допустим, X равно 107. Открываю сайт с вкладами, и вижу, что я могу положить деньги под 15% (если, конечно, кто-то согласится принять 100 рублей). Тогда я могу взять 100 рублей сейчас и положить 94 рубля на депозит (не 100). Через год я получу 108 рублей, даже больше, чем предлагали, и у меня ещё останется 6 рублей прямо сейчас (!). Значит, нужно брать деньги сейчас. Аналогично, пусть X равен 150. Тогда я могу взять 150 рублей через год, и взять кредит без залога. Если поискать совсем немного, то можно найти такой кредит с полной стоимостью 33%. Я могу взять в кредит 112 рублей, через год отдать 112 x 1.33 = 148.96 рублей из 150, которые получу сам (на самом деле вычисления чуть более сложные из-за того, что нам нужно будет платить проценты в течение года, но числа будут те же, так как это учтено в полной стоимости кредита). Таким образом, видим, что это строго лучше, чем 100 рублей сейчас. Относительный успех! Мы сузили интервал неизвестности до 115-133 рублей, а вне этого интервала однозначно можем определить, что лучше.
Чем больше мы как клиент вызываем доверия, тем уже будет этот интервал (a.k.a. spread), потому что тем меньше риск, что мы не заплатим, и в пределе всё должно сходиться к одному числу, также называемому "безрисковой ставкой". Предполагая, что мы можем как взять кредит под неё, так и дать деньги в долг (то самое отсутствие транзакционных издержек) получаем фиксированную отсечку. Как определять безрисковую ставку -- очень дискуссионный вопрос, но для практических целей физического лица можно принять её как ставка по государственным облигациям в валюте этого государства на нужный период. Можно узнать её по ссылке, на картинке это 13.23%. Таким образом, мы определили "честную цену" для такого финансового инструмента. Обратим внимание, что инфляция или предполагаемая инфляция не участвуют напрямую в наших рассуждениях (она влияет на безрисковую ставку, но их связь достаточно контринтуитивная).
Форвардный контракт
Пусть к нам приходит такая же респектабельная компания, как в прошлом примере, и предлагает выбрать между $100 через год, и 10'000 рублей через год. Как и в прошлый раз, мы абсолютно уверены в надёжности компании и том, что она заплатит нам в правильной валюте. Что же выбрать, особенно с учётом того, что рубль скачет туда-сюда? Опять же, интуитивное представление о том, что нужно "предположить о том, какой будет курс через год", не совсем корректное, а действовать нужно так.
Пусть мы выбираем $100 через год, и какими-то действиями, кроме игры в лотерею, переводим это в получение фиксированного числа рублей через год. По нашим основным предположениям, нужно соглашаться на второе, если это число меньше, чем 10'000, и на первое, если больше. Итак:
- Берём $100 через год
- Текущая ставка американских облигаций на 1 год 4.82%. Берём $100 / 1.0482 = $95.40 с отдачей через год, вернём их из тех $100, которые получим от Яндекса
- Текущий биржевой курс доллара 88.20 руб/$, продадим наши $95.40, получим 95.40 x 88.20 = 8414.28 рублей
- Дадим в долг 8414.28 рублей на 1 год под безрисковую ставку 13.23%, через год получим 8414.28 x 1.1323 = 9527.49
Таким образом, если кто-то очень надёжный (очень надёжный это очень важное условие) предлагает вам поменяться через год: вы дадите $100, а вам дадут 10'000 рублей, то это выгодная сделка, и нужно соглашаться. При этом, чтобы сделать такой вывод, нам не была нужна ни инфляция в США или России, ни какие-то предположения о том, какой в будущем будет обменный курс. Такая сделка называется "форвардный контракт", или форвард.
Часто можно встретить термин "фьючерс", или фьючерсный контракт. Если упростить, то фьючерс это форвард, который торгуется на бирже. Из-за этого слегка изменяется способ оценки стоимости, так как при изменении курса доллара биржа требует положить деньги на специальный счёт для страховки от того, что ты откажешься платить, который называется margin account, и эти деньги тоже нужно будет взять в долг (или можно будет снять с margin account и дать кому-то в долг, если курс изменится в другую сторону), но теперь, вооружённые первыми принципами, мы можем учесть и это.
Такая же логика применяется в любых фьючерсах (и деривативах в целом), не только в валютных. Так, цена долгосрочных фьючерсов на нефть отражает не оценку того, сколько будет стоить нефть в будущем, а стоимость её хранения в выделенных резервуарах (примерный аналог безрисковой ставки из нашего примера)
Опционы
Ну уж опционы-то хотя бы про вероятности, а не про безрисоквые ставки? Не совсем. Рассмотрим ещё один синтетический пример. Пусть есть компания, её акции сейчас на рынке стоят 100 долларов. Для простоты предположим, что мы можем "уходить в минус" по числу акций компании (a.k.a. занимать короткую позицию, или шортить), а также покупать и продавать нецелое число акций. Всем известно абсолютно точно, что завтра на главную площадь страны выйдет президент России, и прилюдно бросит максимально честный кубик d20. Если выпадет 17 или больше (вероятность 20%), то акции упадут и будут стоить 80. Если же выпадет 16 или меньше (вероятность 80%), то акции будут стоить 120 (например, правительство заставит всех продать акции ему по такой цене). Колл-опцион это возможность (но не обязательство) купить акцию компании по фиксированной цене (она называется страйк). Сколько должен стоить колл-опцион на акции этой компании на завтра со страйком 100? Для упрощения расчётов предположим безрисковую ставку равной 0.
Завтра всё будет предельно понятно. Если выпадет 17+, то исполнять опцион, то есть, покупать по 100, смысла нет (и доход от наличия опциона $0). Если же выпадет 16-, то имеет смысл исполнить опцион, купить по 100, а потом продать по 120, и получить $20 дохода. Интуитивно может показаться, что стоимость опциона сегодня должна быть равна матожиданию дохода завтра, то есть, 20% x $0 + 80% x $20 = $16. Я говорю, что если вы готовы купить такой опцион по $14, то я продам вам его. Затем я сделаю следующее:
- У меня есть $14, и обязательство продать вам завтра 1 акцию компании, если вы захотите
- Я беру в долг в банке $40 на 1 день (вот здесь упрощаются расчёты из-за нулевой безрисковой ставки). Теперь у меня есть $54, я должен банку $40 и обязан продать вам 1 акцию компании завтра по требованию.
- Я покупаю 1/2 акции компании за $50 (=$100/2). У меня есть: $4 денег и 1/2 акции компании, я должен $40 банку, и обязан продать вам 1 акцию компании завтра по требованию.
Завтра произойдёт одно из двух:
1. Выпадет 16-. Акции поднимутся до $120, и вы придёте ко мне, захотев 1 акцию компании в обмен на $100. Я возьму ваши $100 (теперь у меня $104), куплю ещё 1/2 акции компании за $60 (у меня остаётся $44), отдам вам вашу акцию, и отдам $40 долга банку. У меня осталось $4 и никаких обязательств. Я заработал $4
2. Выпадет 17+. Акции упадут до $80, вы ко мне не придёте (ну, или я заработаю ещё и на этой сделке). Я продам 1/2 акции за $40, и отдам эти $40 банку. У меня осталось $4 и никаких обязательств. Я заработал $4
Таким образом, что бы завтра ни произошло, я заработал одинаковое количество денег без какого-либо риска для себя. Соответственно, "честная цена" не должна давать мне этого делать, а ещё не должна давать проводить обратный манёвр. Соответственно, такой опцион должен стоит $10. Пример немного синтетический, но отражает суть того, за что в своё время дали "Нобелевскую" премию по экономике: опцион можно "реплицировать" через комбинацию из базового актива (в нашем случае акции) и долга. Там ещё есть известная формула, и её даже можно явно вывести из предположений, показанных выше, но на практике с ней всё сложно.
Возникает закономерный вопрос: в наших расчётах нигде и никак не использовалась вероятность, с которой наступает одно из этих двух событий. Почему так? А если бы наоборот, 17+ нужно было бы выбросить для роста, цена была бы такой же? Ответить на этот вопрос помогает встречный вопрос: почему сейчас цена $100, если завтра матожидание $80x20%+$120x80%=$112? И правда, без риска деньги заработать нельзя, но можно же взять сравнительно небольшой риск, и получить матожидание прибыли 12% за 1 день! То, что такого не происходит (и, соответственно, нет сдвига цены вверх из-за этого) говорит нам о том, что у инвесторов есть какие-то дополнительные риски, которые могут быть не связаны напрямую с нашими акциями, но сильно с ними скоррелированы (например, при низких значениях броска кубика произойдёт что-то ещё), и в сторону увеличения они риск на себя брать не готовы.
А зачем мне это знать?
Во-первых, это красиво :-)
Во-вторых, знать хотя бы такие основы просто необходимо, например, когда хочешь посчитать, сколько же реально стоит то, что компания тебе предлагает в оффере, с учётом отложенных премий, сайнапа, RSU или SAR. К счастью, большинство деривативов в оффере айтишника простые линейные (линейная комбинация фиксированных выплат разных инструментов в фиксированные моменты времени)
В-третьих, новостные статьи, которые связывают цену на фьючерсы с ожиданием того, что что-то случится, больше не будут вводить в заблуждение, а это уже не так мало
P.S. Очень нужно картинкохранилище, я сначала хотел поделать скриншоты и стрелочки порисовать, но не осилил выбрать, где же их хранить