Статья спасена из Яндекс.Кью
Очень часть на Q задают вопросы вроде "может ли любитель придумать что-то новое в математике" — в самых разных вариациях. Я, если честно, не уверен что этот пост кого-то в чём-то сможет убедить, но решил позволить себе немного порассуждать на тему.
С одной стороны, конечно, многие великие математики нового времени были любителями (непрофессиональными математиками). Например Пьер Ферма был по основной профессии юристом, его блистательный корреспондент Марен Мерсенн — монахом, Христиан Гольдбах — скорее чиновником и так далее. При этом их заслуги в математике (ну и вообще в естествознании) — неоспоримы.
Строго говоря, феномен успешного любителя — встречается и сейчас. Например пару лет назад обсуждали одного профессионального биолога, который сумел придумать хитрый контр-пример к одной задаче из комбинаторной теории групп. Или вот, как утверждает хабр в одной старой задаче Лебега удалось продвинуться любителю Филиппу Гиббсу (мне, если честно, не удалось убедиться в том, что Гиббс действительно любитель, но можно и на слово поверить). Задача состояла в том, чтобы отыскать фигуру наименьшей площади, которая может накрыть собой любую плоскую фигуру диаметра 1. Саму работу можно посмотреть здесь.
В тоже самое время есть и всякие наблюдения, которые не требуют вообще никаких предварительных знаний. К примеру скатерть Улама, которую обнаружили от скуки.
Всего-то, выписав числа как на картинке, Улам отметил простые числа. И заметил, что оказывается они очень чётко группируются. Это позволило скажем анализировать простые числа "генерируемые" многочленами ax^2+bx+c.
Так что даже и в современной математике частенько рассматривают вопросы с достаточно низким порогом вхождения. Я бы вообще отметил комбинаторную геометрию и выпуклую геометрию, как примеры таких разделов математики. Есть, правда, и теория чисел, в которой формулировки задач очевидны даже школьнику, но вот современные методы работы — неочевидны зачастую и профессиональному математику. Скажем доказательство великой теоремы Ферма — считается одним из самых сложных результатов 20-го века.
Так что же, любой сообразительный человек может пойти и решить что-нибудь эдакое, обессмертив своё имя как блистательного математика и утереть нос всяким зазнайкам?
Нет.
Primum. Математика в 21 веке — не та что была в 19-м. Дело не только в революции, которую в математике совершил Гильберт сотоварищи на рубеже 19-20 веков, поставив математику на аксиоматические рельсы, но и в том, что над известными простыми вопросами люди думают как раз с 19-го века. Так что простые решения по большей части уже нашли. Что более важно, разработано огромное количество общих результатов, которые хорошо описывают стандартные закономерности привычных объектов: свойства дзета-функции помогают разбираться с простыми числами, оптимальное управление — с минимаксными задачами и т.д.. Таким образом, для решения большинства "простых вопросов" нужно на самом деле искать ответы на куда более сложные. Хороший пример — та же теорема Ферма. По сути, Уайлс получил куда более общий результат (см. тут и замечательную книгу Сингха) — известный как проблема Таниямы-Шимуры.
Deinde. Математика это не поиск ответов на головоломки. Это, к сожалению, одна из проблем школьной и олимпиадной математики: они приучают к мысли, что математики сидят и решают определённого рода головоломки, а это не так. Большинство вопросов которыми интересуются математики (например классификация всех поверхностей) — просто не могут иметь окончательного ответа. И всегда большую роль играет контекст: приложения, использование известных конструкций и так далее. То есть грубо говоря, идеально — найти максимально общий новый ответ в старых хорошо известных терминах. А всякие новые конструкции в математике — возникают не от хорошей жизни, а от нехватки информации в старых.
Ну и как в случае с той же теоремой Ферма. Не то чтобы кому-то стало легче жить от её "закрытия". Куда большую роль играл общий результат Уайлса (существенно продвинувший наше понимание алгебраической геометрии), а доказательство ВТФ — просто приятный бонус.
Tum. Разделы математики с низким порогом вхождения это (и тут в меня полетят помидоры) в основном маргинальные разделы математики. Можно сколько угодно дуть щёки про значимость проблемы 5-красок и вообще хроматических чисел, но их ценность за пределами комбинаторной геометрии не высока. Та же теория чисел — это далеко не мейнстрим современной математики. За доказательствами ходить далеко не надо. Вероятно самый важный математический журнал Annals of Mathematics — посмотрите что в нём публикуют. Количество статей по теории чисел, комбинаторной геометрии и другим "никзоуровневым" разделам — крайне не велико.
Postremo. Подумать и поразмышлять над задачами с понятным условием — дело хорошее. Также как и нельзя отрицать очень высокую методическую значимость подобных разделов математики для обучения школьников: всегда круто иметь возможность что-то такое понятное сформулировать и презентовать как до сих пор нерешенную задачу.
Однако, важно отдавать себе отчёт, что время любителей в математике по большому счёту закончилось (лет 70 назад). И чтобы добиться серьёзных успехов — необходимо идти учиться и получать серьёзное высшее образование. И это касается не только математики :-)
При этом сейчас (как и всегда) главный интерес это различные междицсиплинарные вопросы, возникающие на стыке разных наук. Но такие вопросы требуют глубокого знания и понимания сразу нескольких областей.
В общем, как сказано в клятве астрономов: " Клянусь … увидев две звезды там, где прежде была одна, не кричать: "Эврика!", не вылив на голову ведро холодной воды"