А и Б играют в игру. Игрок А по секрету от Б пишет на двух клочках бумаги два различных числа. Игрок Б выбирает из них случайный и смотрит, какое число на нём написано. Игрок Б должен угадать, больше оно оставшегося числа или меньше.
Если Б подкинет монетку, он угадает с вероятностью 1/2. Существует ли стратегия для Б, позволяющая независимо от того, какие числа написал игрок А, победить с вероятностью больше 1/2?
Пусть f(x) = (1 + arctg(x)) / 2 -- это монотонно растущая функция из R в (0, 1). Стратегия: Пусть Б досталось число x. Он должен посчитать f(x), подкинуть монетку, которая падает орлом с вероятностью f(x), и если она выпала орлом, то сказать "больше", иначе -- "меньше". Непосредственным подсчётом убеждаемся, что если другое число это y < x, то вероятность того, что итог будет "больше" -- 0.5 * f(x) + 0.5 * (1 - f(y)) = 0.5 + 0.5 * (f(x) - f(y)) > 0.5, ну и аналогично в случае если y > x.
ответить